• 两道常见算法面试题
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  • 金龙鱼
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1、求 x 的 n 次方
当然,这道题你也可以采用 n 次循环让 n 个 x 相乘,不过,这样的做法毫无意义,因为估计小学生也会做。不过这道题如果知道了思路,还是挺简单,我举个例子吧,例如我们要求 2^8。

1、首先,我们可以通过 2 * 2 = 4 得到 2^2
2、接着,我们利用刚才的结果,让 4 * 4 = 16 得出 2^4
3、接着,同样的道理,让 16 * 16 = 256 得出 2^8

通过这种方法,只需要三次相乘即可得出,也就是说,我们可以在 O(logn) 的时间复杂度求出 x 的 n 次方。这种方法的思想,我们也称之为快速幂思想,和二分查找的思想有点类型,每次都进行翻倍或者缩小一半。

这个时候有人可以能会问,如果 n = 8 或者 n = 16 ,由于 n 是 2 的幂次方,所以可以按照你上面的方法做,那如果 n = 12 呢?其实道理是一样的,我们可以对 12 进行拆分啊,把 12 拆分成 12 = 4 + 8 就可以了。然后就有 2^12 = 2^4 * 2^8。那如果 n = 13 呢,也是一样的,拆分成 13 = 1 + 4 + 8,即 2^13 = 2^1 * 2^4 * 2^8。

也就是说,任何整数,都可以把它拆分成若干个 2 的幂次方进行相加。

代码如下
// 为了代码短一段,这里假设 n 是非负整数,并且不会产生溢出
int pow(int x, int n){
    int res = 1;
    while(n > 0){
        if(n % 2 == 1){
            res *= x;
        }
        n >> 1;
        x = x * x;
    }
}

好吧,上篇文章中,我说不可以使用位运算,上面的代码还是用到了位运算,如果不使用的话,代码会比较复杂,这里跟各位说声不好意思,如果你对里面的代码看的不是很懂,说明你的牛逼的位运算不熟悉,可以看我之前的文章:【算法技巧】位运算装逼指南


2、搜索旋转排序数组

假设按照升序排序的数组在预先未知的某个点上进行了旋转。( 例如,数组 [0,1,2,4,5,6,7] 可能变为 [4,5,6,7,0,1,2] )。搜索一个给定的目标值 target,如果数组中存在这个目标值,则返回它的索引,否则返回 -1 。你可以假设数组中不存在重复的元素。你的算法时间复杂度必须是 O(log n) 级别。

示例 1:
输入: nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 0

输出: 4


示例 2:
输入: nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 3
输出: -1
解答

为了方便讲解,这里我们把数组中的最小值称之为旋转点吧。接下来我们就以上面中的例子来进行讲解。

没有旋转之前的数组

旋转之后的数组

显然,这个旋转点是最特殊的点,因为旋转点既比左边的数小,同时也比右边的数小。

我们知道,在我们平时的二分查找中(也就是数组没有旋转之前),我们会把目标值 target 与 中间元素 mid 进行比较,每次比较都会有如下三种结果

(1)如果 target 比 mid 小,那么 mid 以及 mid 右边的所有元素一定比 target 大,所以 target 只能存在于 mid 的左边元素中。
(2)如果 target 比 mid 大,那么 mid 以及 mid 左边的所有元素一定比 target 小,所以 target 只能存在于 mid 的右边元素中。
(3)如果 target 与 mid 相等,则直接把 mid 对应的下标返回即可。

而在这道题中,情况要比这个复杂,因为它还有受旋转点的位置所影响,具体可以分为以下两种情况。

这里我在强调一下,二分查找的结果就是要把范围缩小一般,所以我们的目的就是,寻找出 target 究竟是位于 mid 的左边还是右边。
(一)情况1:中间元素在旋转点的左侧

(1)target 在 mid 的左边。

如果 target 在 mid 的左边,显然需要满足条件:最左边元素 <= target < mid。


(2)taeget 在 mid 的右边

如果不满足(1)的条件,则意味着在右边

(二)情况2:中间元素在旋转点的右侧或者和旋转点重合

右侧

重合

(1)target 在 mid 的 右边

显然,需要满足的条件是 mid < target <= 最右侧元素

(1)target 在 mid 的左边

如果不满足 (1) 中的条件,则在左边。

当然,在上面的情况中,我们没有 mid 与 target 相等的情况,因为如果他们相等的话,就直接返回下边即可,无需讨论。
上面的各种情况我们都讨论好了,下面我们直接按照上面的逻辑来写代码即可,代码如下:
int rotatedBinarySearch(int[] arr, int target){
    // 最左侧元素下标
    int left = 0;
    // 最右侧元素下标
    int right = arr.length - 1;
    while(left <= right){
        // 中间元素下标
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if(arr[mid] == target){
            return mid;
        }

        // 情况1:如果中间元素在旋转点左侧
        if(arr[mid] >= arr[left]){
            //target 如果位于中间元素的左侧
            if(arr[mid] > target && target >= arr[left]){
                right = mid - 1;
            }else{
                left = mid + 1;
            }
        }
        // 情况2:中间元素在旋转点的右侧
        else{
            // target 如果位于中间元素的右侧
            if(arr[mid] < target && target <= arr[right]){
                left = mid + 1;
            }else{
                right = mid - 1;
            }
        }
    }
    return -1;
}

最后
对于有些需要分很多种情况讨论的题,说时候,不是很好讲,就算我详细着给你们讲,还是容易把你们给绕晕,所以在以后的选题中,我会尽量选择一些典型的,一道题能够引申出某个重点知识点的题来讲,当然,也欢迎大家给我提供一些有意思的题,后面打算写写红黑树、trie 树、递归树等高级数据结构,敬请期待。
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